FUNDAMENTOS DEL DISEÑO ÓPTIMO DE ESTRUCTURAS. PRIMERA PARTE..

Por: Dr. Ing. Alexis Negrín Hernández y Alejandro Negrin Montecelo (anegrin@uclv.edu.cu)

INTRODUCCION. Debido al continuo desarrollo de la ciencia y la técnica en el campo de la ingeniería, se hace necesario ir introduciendo y desarrollando estudios que mejoren y perfeccionen tanto nuestros métodos actuales de trabajo como la calidad de los mismos, teniendo como premisa fundamental que estos resulten económicamente justos. Si se tiene en cuenta la importancia de las construcciones dentro de la economía nacional se observará que éstas actualmente ocupan un volumen considerable y son, en todos los casos, factor fundamental para el desarrollo de un país dado.

Por eso es necesario exigir la aceleración del proceso científico-técnico y la transferencia de la economía al intensivo camino del desarrollo, al más racional uso del potencial productivo del país la menor utilización posible de recursos del área de divisas y sustitución de estos por materiales de producción nacional, y también un amplio mejoramiento de la calidad del trabajo. Para la realización de estas metas es imprescindible en la ejecución de proyectos de construcción, la amplia introducción de métodos que permitan elaborar estructuras óptimas, las cuales respondan a las exigencias constructivas, siendo las más económicas y asegurando un mínimo de gastos de medios y materiales. En primer lugar, esto se debe lograr en el proceso de proyección de las estructuras con las cuales se relacionan más del 70% de las inversiones capitales en la construcción. La optimización estructural es un buen camino para lograr proyectos racionales.

OBJETIIVOS DE LA OPTIMIZACION. El objetivo del diseño óptimo de estructuras consiste en la realización de un proyecto estructural el cual satisfaga todas las exigencias de las normas de cálculo existentes y que sea la mejor de todas las posibles soluciones a lograr (que como se conoce son muchas). Las estructuras deberán satisfacer las condiciones de resistencia, deformación, estabilidad, fisuración, tecnología de fabricación, transporte, montaje, etc. La elaboración de métodos de optimización de estructuras de concreto reforzado comenzó hace bastante tiempo incluso en la actualidad, ya es una disciplina particular con objetivos propios. Sin embargo, solamente en los últimos tiempos se han desarrollado métodos de solución para problemas de estructuras de concreto reforzado por separado, es decir, para elementos.

Al surgir nuevos tipos de construcciones, nuevos métodos de cálculo, incluso, nuevos materiales de construcción, se hace necesario crear nuevas teorías y métodos de optimización de estructuras. Esto hace que el fenómeno de la optimización tenga un desarrollo continuo en muchos países de cierto nivel de desarrollo, existiendo todo un andamiaje teórico-práctico, ya aplicado a la optimización de distintos elementos estructurales y a estructuras completas [1] y [2] como cerchas, losas, cimientos, columnas, etc. .

Resumiendo ¿en que consiste la optimización?: Dado el tipo de elemento a construir sea una víga, columna, losa, cercha etc., y conociendo el estado de carga; el problema de optimización se reduce a lograr: la mejor solución que satisfaga todas las exigencias de las normas de cálculo (fisuración, deformación, estabilidad, etcétera) y que evalue correctamenta las exigencias de economía (menor costo), durabilidad seguridad y factores arquitectónicos y constructivos.

Para hablar de mejor solución, ante todo hay que hablar del criterio de optimización, es decir que se quiere optimizar, sea costo total, gasto de acero, gasto de concreto, peso mínimo del elemento, gasto de encofrado, etc. [4]

CRITERIOS DE OPTIMIZACIÓN .
La clave de la optimización de estructuras se encuentra en la elección en el criterio de optimización para las soluciones previstas, de la elección correcta de dicho criterio depende directamente que se reciban resultados que en la realidad sean óptimos. Se deben proyectar estructuras teniendo en cuenta las exigencias de la economía, tecnología, durabilidad y seguridad. [3]

La exigencia de economía se debe plantear como una exigencia de lograr el valor mínimo de la suma de todos los gastos para la construcción de una estructura, limitado al mismo tiempo, los gastos de recursos materiales y energéticos. Las exigencias tecnológicas se deben ver como las exigencias a las limitaciones en la sumas de los gastos de trabajo en la etapa de construcción. Las exigencias de seguridad son las exigencias de no aparición de ningún estado limite a causa de la acción de las cargas actuantes. En la mayoría de los casos esto se cumple aplicando, en el diseño las normas de cálculo existentes.

Las exigencias de durabilidad se reducen a que en presencia de un agente agresivo externo actuante, las construcciones no deben recibir debilitamientos complementarios a llegar a un estado de inutilidad para la explotación. Para estos toman medidas especiales de protección, como el caso de reparaciones periódicas, pero aquí se debe tener en cuenta los gastos de dichas reparaciones al evaluar el criterio general de optimización (siempre que el criterio sea costo mínimo). [3]

Dentro de la amplia gama de criterios de optimización (se puede optimizar todo) se tiene entre muchos otros: [2] [3] y [4]

* Mínimo costo total. El más usado en nuestra esfera.
* Mínimo peso. Muy usado por los diseñadores de aviones.
* Mínimo gasto de armadura. Para el caso de un país no productor de acero por ejemplo.
* Mínimo gasto de concreto. Donde no abunden los recursos para su elaboración.
* Mínimo costo de transportación y montaje, etc. Para El caso de estructuras prefabricadas.

La elección de ellos depende de las particularidades del problema dado, de las condiciones particulares de un país o región determinada, pero es fácil comprender que el primero de todos es el criterio más completo y más usado, dando la idea más exacta a la hora de evaluar la mejor solución.

ENFOQUE GENERAL

La teoría de diseño óptimo de estructuras de concreto reforzado es un complejo problema, el cual es a menudo equivocadamente se relaciona con un problema elemental: escoger una de las posibles variantes de diseño. Pero diseño óptimo es sustancialmente un proceso distinto y muy difícil, con un amplio basamento matemático, relacionado con un complejo de múltiples y diferentes cuestiones de principal importancia.

La optimización de estructuras, no es la búsqueda ciega entre las variantes de solución de un proyecto dado, sino un problema mas complejo en cual hay que tener muy presente infinidad de factores que deciden en la correcta solución del mismo que para lograrlo hace falta hacerlo con una sólida base científica. Para ello se hace imprescindible formular matemáticamente el problema (modelaje matemático), siendo este el paso más importante del proceso. Se hace necesario aclarar también que sin el uso de la computación es imposible resolver ningún problema de optimización.

Queda claro pues, que el problema de la optimización de estructuras no es un trabajo de tanteo entre muchas variantes para buscar la mejor [2], [3]; ni con la mejor computadora del mundo se puede llegar por este camino a la obtención de la variable óptima.

Ejemplo:

Si se tuviera una estructura compuesta por diez elementos distintos y se contara con veinte elementos típicos que se pudiera usar en cada caso, para obtener todas las variantes posibles, que permitieran llegar a la óptima, según la teoría de combinación hay 2010 casos, es decir 1.024x1013, si una computadora evaluara cada variante en un segundo, el tiempo total de máquina para verificar todos los casos sería 324,708 años.

FORMULACIÓN MATEM�TICA

El problema de la optimización de una estructura se formula matemáticamente de la siguiente forma:

Z=f(xi) -------- mínimo (1)

Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. ΔEs posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. (2)

A la expresión (1) se le llama función objetivo (criterio de optimización). Es la función a la cual hay que hallarle un mínimo (o un máximo) según el criterio de optimización que se valla a emplear: gasto total mínimo, mínimo gasto de acero, peso mínimo, etc.

Las expresiones (2) son el conjunto de restricciones en correspondencia con las exigencias de gastos mínimos de materiales, exigencias de seguridad, y todas las demás exigencias que debe cumplir los parámetros de los elementos (constructivos, arquitectónicos, tecnológicos, etc. y que dependen de xi.

En las expresiones (1) y (2) se tiene que:

xi: Conjunto de variables que afectan la función objetivo.

Para un problema de costo mínimo pueden ser, por ejemplo: h; b; f’’c; fy, cuantía de acero, dimensiones del encofrado, etc.

Z: suma de todos los costos para construir y poner en explotación un elemento o estructura dada en un caso de costos mínimos.

Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. , Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. , Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. : valores límites de las restricciones g(xi); Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. y Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. .

En un problema dado, por ejemplo, el diseño óptimo de las vigas rectangulares de concreto armado en flexión se puede plantear (según referencia [4])

Función objetivo:

Ctotal=Cc+Cs+Ce+Ca (3)

Donde:

Ctotal: costo total
Cc: costo del concreto
Cs: costo de la armadura principal
Ce: costo del encofrado
Ca: costo del acero de los estribos o cercos
Como se ve, en la función objetivo (3) es extremadamente compleja y muy difícil de obtener.
Como ejemplos de restricciones se tiene: (3)

* Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. chequeo de resistencia,
* Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. chequeo de agrietamiento
* Es posible que tu navegador no permita visualizar esta imagen. chequeo de deflexión

Es decir las ecuaciones de diseño y el cumplimiento de los estados límites. (Las ecuaciones de diseño reciben el nombre de ecuaciones de estado)

Otras restricciones pueden ser:

* Para no usar acero a compresión:

h > hmin

* Cuantía menor de la cuantía balanceada (para lograr el diseño dúctil ).
* Cuantía mayor que la mínima, etcétera.

También se consideran restricciones los valores de: límites de gasto de acero o concreto, dimensiones mínimas o máximas prefijadas por los arquitectos, gálibos límites dados por el montaje o la transportación, etc. Entonces se puede concluir que: la modelación matemática de un problema de optimización (paso más importante del proceso), consiste en la obtención de la función objetivo y las variable de que depende, así como todas las restricciones que llevan el proceso, que como ve es una cuestión altamente compleja de difícil evaluación y que necesita de una gran pericia, objetividad y experiencia y a veces ni con esto se logra el modelo más real, llegando solo a una aproximación. Una vez realizados el proceso de modelaje matemático se debe proceder a la resolución del problema.

RESOLUCION DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACION

Con la formulación matemática realizada se debe pasar a la obtención de la variable óptima del diseño, es decir, encontrar el valor mínimo de la función y que cumpla plenamente con las restricciones antes mencionadas. Para ello hay que auxiliarse de los métodos de matemáticos de optimización que existen y que son muchos. Cada uno de ellos son aplicables para condiciones determinadas de un problema dado, es decir, no se puede aplicar arbitrariamente para cualquier caso.

Algunos autores recomiendan realizar la formulación matemática, en función de que cumpla exigencias de aplicación de uno de los métodos matemáticos existentes y prefijados de antemano. Otros se oponen por completo y plantean formular matemáticamente el problema y luego escoger el método, de no existir un apropiado, entonces trabajar coordinadamente con matemáticos para su creación. Pensamos que este último es el camino correcto a seguir.

Entre los métodos a usar se pueden mencionar, entre muchos otros, métodos de multiplicadores de Lagrange, Programación Lineal, Programación no Lineal, Programación Dinámica, método de Monte Carlo, Diseño de Experimentos, Algoritmos Genéticos, etc. Los métodos de optimización a usar, efectividad y posibilidades reales de utilización, son las cuestiones que deben ocupar a los matemáticos, los ingenieros deben ocuparse de la modelación del problema ingeneiril.

CONCLUSIONES

* Se puntualiza una vez más la importancia de este artículo introductorio para la posterior comprensión de los trabajos de aplicación directa y que presentarán resultados concretos al alcance del proyectista estructural.

* En la actualidad las soluciones de proyecto no solo deben ser técnicamente correctas, es decir que cumplan con las condiciones de funcionabilidad, resistencia y utilización (estados límites), además deben ser óptimas. Incluso sobre estas bases deben trabajar los centros de educación superior del país para que los alumnos reciban la preparación e información necesaria, contenidas estas en sus planes de estudio.

* La proyección de estructuras de concreto reforzado sobre las bases de teoría de proyección óptima permite rebajar los gastos en las construcciones en 15-30% en comparación con soluciones obtenidas por los esquemas de proyección tradicionales-empíricos.

* La solución óptima solo puede obtenerse con la obligatoria realización de todas las exigencias de un diseño óptimo que va muchos mas allá que un simple rastreo de variables.
* La exitosa resolución de un problema de diseño óptimo de estructuras de concreto reforzado es a menudo un problema general de optimización de construcciones, solamente posibles en el trabajo de conjunto de especialistas de diferentes perfiles (constructores, tecnólogos, arquitectos, matemáticos, sociólogos, etc.
* La resolución de un problema de optimización de estructuras de concreto reforzado es imposible si el uso de la técnica de la computación.
* El problema de diseño óptimo de estructuras es una cuestión sobre la cual hace muchos años se está trabajando e investigando, pero que tiene una gran vigencia y actualidad.

REFERENCIAS BIBLIOGR�FICAS
1. Castellanos J. (2000).Procedimiento General para el diseño óptimo de estructuras. Aplicaciones en vigas de hormigón armado. Tesis doctoral.
2. Negrín A. (1995) Consideraciones generales sobre diseño óptimo de estructuras de hormigón armado. Revista Ingeniería Estructural , vol. VIII, No. 1,. Ciudad Habana, pag 25-32
3. Negrín A. y Pérez M. (1992) Propuestas de expresiones para el cálculo de peralto óptimo en elementos sometidos a flexo compresión. Revista Ingeniería Estructural y Vial, vol. XIII, No. 1, 1992. Ciudad Habana, pag 79-86
4. Negrín A. (2005)Un enfoque general sobre diseño óptimo de estructuras. Boletín Estadístico de la Construcción. Cámara Hondureña de la Construcción. Tegucigalpa, Honduras. Pag 12-14